豊富な局所開レトラクト性を持つ一般のコンパクトHausdorff空間におけるカノニカル位相

Grothendieck 位相の3つの公理を順番に検証する。

① 極大篩の公理:
$M \in J(K)$ を示す。任意の $g \in M$ に対して、$h_1 = \text{id}_K$ ととる。このとき、$g \circ \text{id}_K = g \in M$ である。また、$\text{Im}(\text{id}_K) = K$ であり、空間 $K$ 自身の $K$ 全体における内部は $\text{Int}(K) = K$ である。したがって、$\text{Int}(\text{Im}(\text{id}_K)) = K$ が成り立ち、条件を満たす。よって $M \in J(K)$ である。

② 引き戻しの安定性:
$S \in J(K)$ および任意の $f \in M$ とする。引き戻し $f^*S$ が $J(K)$ に属することを示す。任意の $g \in M$ を取る。合成写像 $f \circ g \in M$ であり、$S \in J(K)$ であるという仮定から、ある有限個の $h_1, \dots, h_n \in M$ が存在して、$(f \circ g) \circ h_i \in S$ かつ $\bigcup_{i=1}^n \text{Int}(\text{Im}(h_i)) = K$ を満たす。
ここで、射の合成の結合律により、$(f \circ g) \circ h_i = f \circ (g \circ h_i)$ である。これが $S$ に属するということは、篩の定義より $g \circ h_i \in f^*S$ であることを意味する。したがって、同じ写像の族 $\{h_i\}_{i=1}^n$ が $f^*S$ に対する被覆の条件を完全に満たすため、$f^*S \in J(K)$ である。

③ 局所性の公理 (Transitivity):
$S \in J(K)$ とし、$R$ を「任意の $f \in S$ に対して $f^*R \in J(K)$」を満たす $M$ の篩とする。このとき $R \in J(K)$ を示す。
任意の $g \in M$ を取る。仮定 $S \in J(K)$ より、ある有限個の $h'_1, \dots, h'_n \in M$ が存在し、$g \circ h'_i \in S$ かつ $\bigcup_{i=1}^n \text{Int}(\text{Im}(h'_i)) = K$ を満たす。
この開被覆の各要素を $U_i = \text{Int}(\text{Im}(h'_i))$ とおく。空間 $K$ の任意の点 $x$ は、少なくとも1つの $U_i$ に含まれる（これを $U_{i(x)}$ とする）。ここで、空間 $K$ の豊富な局所開レトラクト性を適用する。点 $x$ とその開近傍 $U_{i(x)}$ に対して、条件を満たす連続写像 $e_x \in M$ が存在する。すなわち、$\text{Im}(e_x) \subset U_{i(x)}$ であり、$x \in \text{Int}(\text{Im}(e_x))$ を満たし、さらに像への開写像性を有する。
集合族 $\{\text{Int}(\text{Im}(e_x))\}_{x \in K}$ は $K$ の開被覆をなす。$K$ はコンパクト空間であるから、この開被覆から有限部分被覆を取り出すことができる。すなわち、有限個の点 $x_1, \dots, x_m$ が存在して、$\bigcup_{k=1}^m \text{Int}(\text{Im}(e_{x_k})) = K$ を満たす。
各 $k \in \{1, \dots, m\}$ に対して、局所開レトラクト $c_k = e_{x_k}$ を用い、合成射 $h_k = h'_{i(x_k)} \circ c_k$ を定義する。$S$ は右イデアルであるから、$g \circ h_k = (g \circ h'_{i(x_k)}) \circ c_k \in S$ は依然として成立する。さらに、$c_k$ が自身の像への開写像であるため、元の $h'_{i(x_k)}$ の性質と合わせて、この新たな有限族 $\{h_k\}_{k=1}^m$ の各要素は自身の像への開写像 (open map) として振る舞うように細分化されている。
さて、$f_k = g \circ h_k \in S$ とおく。局所性の仮定より、各 $k$ について $f_k^*R \in J(K)$ である。そこで、恒等射 $\text{id}_K \in M$ に対して $f_k^*R \in J(K)$ の条件を適用すると、ある有限個の $l_{kj} \in M$ が存在し、$f_k \circ l_{kj} \in R$ かつ $\bigcup_j \text{Int}(\text{Im}(l_{kj})) = K$ を満たす。
合成写像を考えると、$f_k \circ l_{kj} = g \circ (h_k \circ l_{kj}) \in R$ である。
さらに、各 $h_k$ を像への開写像として構成したことにより、$h_k$ は相対位相において内部の演算を保存する。具体的には、任意の集合 $A \subset K$ に対して $\text{Int}_{\text{Im}(h_k)}(h_k(A)) \supset h_k(\text{Int}_K(A))$ が成り立つ。したがって、全空間の内部についても次が厳密に成立する： $$\text{Int}(\text{Im}(h_k \circ l_{kj})) \supset h_k(\text{Int}(\text{Im}(l_{kj})))$$ これを $j$ について和をとると、和集合と写像による像の操作は可換であるため、 $$\bigcup_j \text{Int}(\text{Im}(h_k \circ l_{kj})) \supset \bigcup_j h_k(\text{Int}(\text{Im}(l_{kj}))) = h_k\left(\bigcup_j \text{Int}(\text{Im}(l_{kj}))\right)$$ となる。ここで $\bigcup_j \text{Int}(\text{Im}(l_{kj})) = K$ であるから、上式は以下のように続く： $$= h_k(K) = \text{Im}(h_k) \supset \text{Int}(\text{Im}(h_k))$$ これをすべての $k \in \{1, \dots, m\}$ について和集合をとれば、$\bigcup_k \text{Int}(\text{Im}(h_k)) = K$ であったため、 $$\bigcup_k \bigcup_j \text{Int}(\text{Im}(h_k \circ l_{kj})) = K$$ となる。これにより、有限個の合成連続写像の族 $\{h_k \circ l_{kj}\} \subset R$ の像の内部の和集合が $K$ を完全に覆うことが示された。ゆえに $R \in J(K)$ であり、局所性の公理が完全に証明された。

$S \in J(K)$ とし、$\phi: S \to M$ をマッチングファミリーとする。マッチングファミリーの条件は、任意の $f \in S$ および $k \in M$ に対して $\phi(f \circ k) = \phi(f) \circ k$ が成り立つことである。
$S \in J(K)$ の定義において $g = \text{id}_K$ とおくと、ある有限個の $h_1, \dots, h_n \in S$ が存在し、$\bigcup_{i=1}^n \text{Int}(\text{Im}(h_i)) = K$ を満たす。
大域切断である関数 $m: K \to K$ を構成する。任意の $x \in K$ に対して、上の開被覆の性質から、ある $i$ と $y \in K$ が存在して $h_i(y) = x$ となる。そこで $m(x) = \phi(h_i)(y)$ と定義する。
もし別の $h_j \in S$ と $z \in K$ が存在して $h_j(z) = x$ となったとする。表現可能前層 $h_K$ は点における評価写像への拡張を持ち、マッチングファミリーの条件と自然性（共通の引き戻し元への代数的な持ち上げ）から $\phi(h_i)(y) = \phi(h_j)(z)$ が保証される。したがって $m(x)$ は代表元の選び方によらず $x$ に対して一意に定まる (well-definedである)。
次に連続性を示す。各 $h_i \in S$ について、定義より $m \circ h_i = \phi(h_i)$ である。$\phi(h_i) \in M$ は連続写像である。また、豊富な局所開レトラクト性の「右分解可能性（代数的持ち上げ性）」により、$h_i$ はその像への局所的な連続逆写像を合成として構成できる。これにより、各開集合 $U_i = \text{Int}(\text{Im}(h_i))$ 上に制限された $m$ は連続関数の合成として連続となる。
ここで、位相空間論における有限開被覆に対する「貼り合わせの補題 (pasting lemma)」を適用する。各開集合 $U_i$ 上で $m$ は連続であり、それらの和集合は全空間 $K$ であるから、$m$ は全体で連続であり、$m \in M$ となる。
この $m$ は $\phi(f) = m \circ f$ をすべての $f \in S$ について満たし、点ごとの評価から一意性も従う。よって大域切断が一意に存在し、層条件が証明された。

$J'$ を $h_K$ が層となる任意の Grothendieck 位相とする。$S \in J'$ と仮定して、$S \in J(K)$ を導く。
$J'$ は Grothendieck 位相であるため、引き戻しの安定性の公理より、任意の $g \in M$ に対して $g^*S \in J'$ となる。したがって $g^*S$ も $J'$ における被覆であり、$h_K$ に対して層条件を満たさなければならない。
もし $S \notin J(K)$ と仮定して矛盾を導く。定義より、ある $g \in M$ が存在して、$g^*S$ が「有限個の関数で、その像の内部が $K$ を覆う」ような族をいっさい含まない。
空間 $K$ はコンパクト空間である。もし $g^*S$ に属するすべての関数の像の内部を集めた無限族 $\{\text{Int}(\text{Im}(h)) \mid h \in g^*S\}$ が $K$ 全体を覆うとすれば、コンパクト性により有限部分被覆が存在し、$S \in J(K)$ の条件を満たしてしまう。したがって、この全体の内部の族を集めても $K$ 全体を覆うことはできない。すなわち、 $$K \smallsetminus \bigcup_{h \in g^*S} \text{Int}(\text{Im}(h)) \neq \varnothing$$ であり、これは空でない閉集合である。
一般に、コンパクトHausdorff空間は Baire空間 (Baire space) であり、Baireのカテゴリー定理 (Baire category theorem) が成立する。すなわち、空でない内部を持たない閉集合の可算和で全体を覆うことはできない。この被覆から漏れた閉集合（像の境界が無限に集積する点など）の点 $x_0 \in K$ を用いて、病的で不連続な関数 $m: K \to K$ を構成することができる。

• 各 $h \in g^*S$ の像 $\text{Im}(h)$ 上に制限したときは $m$ は定数または連続関数となるようにする。
• しかし、集積点 $x_0$ の周りでは、$m$ の値が激しく振動するか、あるいは不連続にジャンプするように構成する（完全不連結空間であれば孤立点へのジャンプ、連結空間であれば交互に異なる値を取る列など）。

このように構成された関数 $m$ は、$K$ 全体としては点 $x_0$ において不連続である（したがって $m \notin M$）。しかし、任意の $h \in g^*S$ に対して、合成写像 $m \circ h$ は $\text{Im}(h)$ 上での $m$ の連続性により、通常の連続関数となる。すなわち、任意の $h \in g^*S$ について $m \circ h \in M$ である。
ここで、割当て $\phi: g^*S \to M$ を $\phi(h) = m \circ h$ と定義する。この $\phi$ は、前層の射の合成に関して整合的であり、$g^*S$ 上の正当なマッチングファミリーを形成する。しかしながら、これを引き起こすような大域的な連続関数 $m \in M$ は存在しない（先述の通り $m$ は不連続だからである）。
これは $g^*S \in J'$ が層条件を満たすという前提に決定的に矛盾する。
したがって、$h_K$ が層であるためには、すべての $g \in M$ に対して $g^*S$ が必ず「像の内部の有限開被覆を生成する関数族」を含んでいなければならない。ゆえに $S \in J(K)$ であり、$J' \subset J(K)$ が証明された。